ÜSLÜ İFADELER

a tam sayısını n kere kendisi ile çarpma işlemi: a.a.a.a….a.a.a = aⁿ şeklinde gösterilir.

aⁿ sayısı a’nın n. kuvveti veya a üssü n olarak okunur. (Burada a’ya taban, n’ye üs veya kuvvet denir)

Bir sayının kendisi ile tekrarlı çarpımına o sayının kuvveti diyoruz. Bir sayıyı tekrarlı çarparak bu işlemin sonucunu bulmaya ise kuvvet alma diyoruz.

ÖRNEK: 5.5.5=5³

(3 tane 5’in yan yana çarpılması, 5 üssü 3 veya 5’in 3. kuvveti diye okunur.)

(−7).(−7).(−7).(−7)=(−7)⁴

(4 tane −7’nin tekrarlı çarpımı, −7 üssü 4 veya −7’nin 4. kuvveti diye okunur.)

NOT: Bir sayının 2. kuvvetine o sayının karesi, 3. kuvvetine ise o sayının küpü denir.

ÖRNEK: 2³ sayısını “2’nin küpü” olarak okuyabiliriz. 3² sayısını da “3’ün karesi” olarak okuyabiliriz.

POZİTİF SAYILARIN KUVVETLERİ

Pozitif bir sayının bütün kuvvetleri pozitiftir.

7² = 49

3⁴ = 81

SIFIRIN POZİTİF KUVVETLERİ

Sıfırın pozitif kuvvetleri 0’a eşittir.

0¹ = 0

0² = 0.0 = 0

0²⁵ = 0

1’İN KUVVETLERİ

1’in bütün kuvvetleri 1’dir.

1¹ = 1

1³² = 1

NEGATİF SAYILARIN KUVVETLERİ

Negatif bir sayının çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir.

(−2)² = (−2).(−2) = + 4 (üssü çift sayı olduğu için cevap pozitiftir)

(−2)³ = (−2).(−2).(−2) = −8 (üssü tek sayı olduğu için cevap negatiftir)

NEGATİF SAYILARIN ÜSLERİNDE PARANTEZİN ÖNEMİ

Negatif bir sayının üssü alınırken en çok karşımıza çıkan veya çıkacak sorun da parantezdir. Şimdi parantez içindeki ve parantez olmadan iki sayının üssünü bir örnekle inceleyelim.

−2⁴ ve (−2)⁴ arasındaki farkı görelim

−2⁴ demek 2’yi 4 kere çarp başına (−) koy ile aynı şeydir. −2⁴ = − 2.2.2.2 = −16

(−2)⁴ ise −2’yi 4 kere çarp demektir. (−2)⁴ = (−2).(−2).(−2).(−2) = +16

Görüldüğü gibi ilki −16’ya ikincisi +16’ya eşittir. Buna dikkat etmeliyiz.

(−1)’İN KUVVETLERİ

−1’in tek kuvvetleri −1, çift kuvvetleri +1’dir.

(−1)¹⁴⁵³ = −1

(−1)²⁰¹⁶ = +1

BİR SAYININ SIFIRINCI KUVVETİ

Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı üssü 1’e eşittir.

2⁰ = 1

(−5)⁰ = 1

SIFIR ÜSSÜ SIFIR (SIFIRIN SIFIRINCI KUVVETİ)

Sıfır üzeri sıfır belirsizdir. Değeri belirli değildir.

0⁰ belirsizdir.

10’UN KUVVETLERİ

10⁰ = 1

10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1000

…

Yukarıda da görüldüğü gibi 10’un üzerindeki doğal sayı kaç ise 1’in yanına o kadar 0 koyarız.

10²⁵ = 1000….000 (1’in yanına 25 tane 0 yazarız)

NEGATİF ÜS ALMA

Aşağıdaki görsele bakarak negatif üslü sayılara giriş yapalım.

Aşağıda 8 sayısı art arda 2’ye bölünerek bir sayı örüntüsü oluşturulmuştur. Oluşturulan örüntünün her terimini üslü sayı ile ifade edersek dikkat edilirse her adımda üs bir azalmıştır.

Yukarıdaki örüntüden de keşfettiğimiz şekilde:

ÖRNEK : 2⁰ = 1

NEGATİF TAM SAYILARIN NEGATİF ÜSSÜNÜ BULMA

Aşağıda –8 (yani (–2)³) sayısı art arda –2’ye bölünerek bir sayı örüntüsü oluşturulmuştur. Oluşturulan örüntünün her terimini üslü sayı ile ifade edersek dikkat edilirse her adımda üs bir azalmıştır.

Yukarıdaki örüntüden de keşfettiğimiz şekilde:

(–2)³ = –8

(–2)² = 4 gibi…

Genel olarak üslü bir tam sayının işareti:

# Tam sayı pozitif ise bütün kuvvetleri pozitif olur.

# Tam sayı negatif ise çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatif olur.

# Bir üslü ifade paydadan paya veya paydan paydaya alındığında kuvvetin işareti değişir.

Yukarıdaki örnekleri incelersek (–5)^–2 paydaya alınınca (–5)² olur.

Benzer şekilde paydadaki 6³ paya alınınca 6^–3 olur.

ONDALIK KESİRLERİN ve RASYONEL SAYILARIN KUVVETLERİ

RASYONEL SAYILARIN TEKRARLI ÇARPIMINI ÜSLÜ OLARAK YAZMA

Rasyonel sayıların kendileri ile tekrarlı çarpımı üslü şekilde yazılabilir. Sayı kaç kez çarpım olarak yazıldıysa üsse bu sayı yazılır.

ÖRNEK : 

Aynı sayı 4 kere çarpım şeklinde yazıldığı için üslü olarak gösterimi (13)⁴ ‘tür.

ÖRNEK : (−12).(−12).(−12) ifadesini üslü olarak gösterelim.

Aynı sayı 3 kere çarpım şeklinde yazıldığı için bu sayının üssüne 3 yazarız. (−12)³ olarak yazılır.

RASYONEL SAYILARIN KUVVETLERİNİ BULMA

Rasyonel sayıların kuvvetleri hesaplanırken taban üsteki sayı kadar çarpım şeklinde yazılır ve daha sonra çarpma işlemi yapılır.

ÖRNEK : (14)² sayısının değerini bulalım.

Üste 2 olduğu için; 14.14=116 sonucu bulunur.

ÖRNEK : (−32)−3

ifadesinin değerini bulalım.

Üsteki −3’ün +3 olması için pay ve payda yer değiştirir. Daha sonra kesrimizi 3 kere çarparız.

(−32)−3=(−23)3=(−23).(−23).(−23)=−827

ONDALIK KESİRLERİN TEKRARLI ÇARPIMINI ÜSLÜ OLARAK YAZMA

Ondalık kesirlerin kendileri ile tekrarlı çarpımı üslü şekilde yazılabilir. Sayı kaç kez çarpım olarak yazıldıysa üsse bu sayı yazılır.

ÖRNEK : (0,2) . (0,2) . (0,2) çarpımını üslü olarak gösterelim.

3 tane 0,2 çarpım şeklinde yazıldığı için üslü olarak gösterimi (0,2)³ ‘tür.

ÖRNEK : (1,5) . (1,5) . (1,5) . (1,5) ifadesini üslü olarak gösterelim.

1,5 sayısı 4 kere kendisi ile çarpıldığı için

(1,5) . (1,5) . (1,5) . (1,5) = (1,5)⁴ olarak yazılır.

ONDALIK KESİRLERİN KUVVETLERİNİ BULMA

Ondalık kesirlerin kuvvetleri hesaplanırken rasyonel sayıya çevrilerek bulunabilir.

ÖRNEK : (0,2)³ sayısının değerini bulalım.

2 farklı yolla bulabiliriz. 1. yol olarak ondalık gösterimlerle çarpma işlemini kullanabiliriz. Buna göre:

0,2 . 0,2 . 0,2 = 0,008 cevabına ulaşırız.

2. yol olarak da bu sayıları rasyonel sayı olarak yazıp işlem yaparız. Buna göre:

210.210.210=81000 olur.

ÖRNEK : (0,1)³ ifadesinin değerini bulalım.

(0,1)3=110.110.110=11000 olur.

ÖRNEK : (0,3)⁻³ ifadesinin değerini bulalım.

(0,3)−3=(310)−3=(103)3=103.103.103=100027 bulunur.

ONDALIK GÖSTERİMLERİ ÜSLÜ SAYILARLA ÇÖZÜMLEME

Önceki yıllardan bildiğimiz gibi çözümleme, bir sayının rakamlarının basamak değerlerinin toplamı şeklinde yazılmasına diyoruz.

ÖRNEK : 325,6 sayısının çözümlenmiş hali 3.100 + 2.10 + 5.1 + 6.0,1

Bu konumuzda ondalık gösterimleri verilen sayıları çözümlemeyi ve bu çözümlemeyi 10’un kuvvetlerini kullanarak yapmayı göreceğiz.

SAYILARIN ONDALIK GÖSTERİMLERİNİ 10’UN KUVVETLERİNİ KULLANARAK ÇÖZÜMLEME

Bu yüzden basamak isimlerini ve bu basamakların 10’un kaçıncı kuvveti olduğunu bilmemiz gerekir. Öncelikle basamak isimlerini hatırlayalım.

Çözümleme yaparken her bir rakamı bulunduğu basamağın değeriyle çarpacağız ve bunları toplayacağız. Basamak değerlerini farklı şekillerde gösterebiliriz. Bu konumuzda 10’un kuvvetlerini kullanacağız.

Yüzler basamağı 10²

Onlar basamağı 10¹

Birler basamağı 10⁰

Onda birler basamağı 10⁻¹

Yüzde birler basamağı 10⁻²

Binde birler basamağı 10⁻³

ÖRNEK : 268,174 sayısını 10’un kuvvetlerini kullanarak çözümleyelim.

ÇÖZÜM :  

ÖRNEK : 35,02 sayısının çözümlemesi 35,02 = 3.10^a + 5.10^b + 2.10^c ise (c + a)^b kaçtır?

ÇÖZÜM :

3 rakamı onlar basamağında olduğu için ve 10 sayısı 10’un 1. kuvveti olduğundan a = 1

5 rakamı birler basamağında olduğu için ve 1 sayısı 10’un 0. kuvveti olduğundan b = 0

2 rakamı yüzde birler basamağında olduğu için ve 1/100 sayısı 10’un −2. kuvveti olduğu için c = −2

Sonuç olarak (c + a)^b = (−2 + 1)⁰ = (−1)⁰ = 1

ÜSLÜ SAYILARDA ÇARPMA ve BÖLME İŞLEMİ

ÜSLÜ SAYININ ÜSSÜ

Üslü bir sayının üssü alınırken üsler çarpılır.

► (23)2=23.2=26=64

► (0,7−1)2=0,7−1.2=0,7−2=(710)−2=(107)2=10049

ÜSLÜ İFADELERLE ÇARPMA İŞLEMİ

Üslü ifadelerle çarpma işlemi ile ilgili 2 kural öğreneceğiz.

► 22.25=22+5=27

► 34.3−7=34+(−7)=3−3

► (−2)5.(−2)4=(−2)9

Üsleri aynı olan üslü sayılarla çarpma işlemi yapılırken tabanlar çarpılır, ortak üsse taban olarak yazılır.
a^x.b^x = (a.b)^x

► 22.32=(2.3)2=62

► 6−2.3−2=(6.3)−2=18−2

► (−2)5.25=(−2.2)5=(−4)5

Hem tabanlar hem üsler aynı ise yukarıdaki işlemlerden herhangi biri yapılabilir.

ÜSLÜ İFADELERLE BÖLME İŞLEMİ

Üslü ifadelerle bölme işlemi ile ilgili 2 kural öğreneceğiz.

► 34:3−7=34−(−7)=34+7=311

► (−2)−5(−2)3=(−2)−5−3=(−2)−8

Üsleri aynı olan üslü sayılarla bölme yapılırken tabanlar bölünür, ortak üsse taban olarak yazılır.

► 125:35 = (12:3)5 = 45

► 3−26−2 = (36)−2 = (12)−2 = (21)2 = 4

Hem tabanlar hem üsler aynı ise yukarıdaki işlemlerden herhangi biri yapılabilir.

TABANLARI VE ÜSLERİ FARKLI ÜSLÜ SAYILARLA ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMİ

Bunu birkaç örnekle açıklayalım.

ÖRNEK : 2⁵.4³ işleminin sonucunu ,üslü sayı olarak bulalım.

Bu işlemde tabanlar eşitlenebilir çünkü 4, 2’nin kuvvetidir.

25.43= 25.(22)3 = 25.26 = 211 bulunur.

ÖRNEK : 27235 işleminin sonucunu bulalım.

Bu işlemde tabanlar eşitlenebilir çünkü 27, 3’ün kuvvetidir.

27235 = (33)235 = 3635 = 36−5 = 31 bulunur.

ÖRNEK : 26.931252 işleminin sonucunu bulalım.

Bu işlemde üsler eşitlenebilir.

26.931252 = 26.(32)3(53)2 = 26.3656 = (2.35)6 = 1,26 bulunur.

ÜSLÜ SAYILARDA TOPLAMA ve ÇIKARMA İŞLEMİ

# Üslü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yaparken için önce üslü sayıların değeri bulunur.

ÖRNEK: 2³ + 2² işleminin sonucunu bulalım.

2³ = 8 ve 2² = 4 olduğundan

8 + 4 = 12 cevabını buluruz.

ÖRNEK: 5⁻² + (−5)² işleminin sonucunu bulalım.

Önce üslü sayıların değerlerini bulduk, daha sonra ise paydaları eşitleyerek toplama işlemini yaptık.

125+25=125+251 = 125+62525 = 62625 olarak bulunur.

ÖRNEK: 3² − 2² işleminin sonucunu bulalım.

3² = 9 ve 2² = 4 olduğundan

9 − 4 = 5 cevabını buluruz.

# Hem tabanları hem de üsleri aynı olan üslü sayılarda bu sayılarla çarpım durumunda bulunan katsayılar arasında toplama ve çıkarma işlemi yapılabilir.

ÖRNEK: Bir kenarının uzunluğu 2⁷ cm olan karenin çevresini bulalım.

Çevre = 2⁷ + 2⁷ + 2⁷ + 2⁷

4 tane 2⁷ sayısını topladığı için bunu kısaca 4.2⁷ şeklinde yazabiliriz.

4.2⁷ = 2².2⁷ = 2⁹

ÖRNEK: 5.3¹⁵ − 2.3¹⁵ işleminin sonucunu bulalım.

Hem tabanlar hem üsler aynı olduğu için katsayılar arasında işlem yapılır.

(5−2).3¹⁵ = 3.3¹⁵ = 3¹⁶

# Tabanları aynı, üsleri farklı olan üslü ifadelerde toplama işlemi veya çıkarma işlemi yapılırken üsler eşitlenir ve daha sonra katsayılar arasında işlem yapılır.

ÖRNEK: 3¹⁴ + 3¹³ − 3¹² işleminin sonucunu bulalım.

Üsler en düşük olan üsse göre eşitlenebilir.

3² . 3¹² = 3¹⁴ olduğu için biz 3¹⁴ yerine bu ifadeyi yazabiliriz. Benzer durum 3¹³ için de geçerli. Buna göre:

3¹⁴ + 3¹³ − 3¹² ifadesini şu şekilde düzenler ve işlem yaparız:

= 3².3¹² + 3¹.3¹² − 3¹²

= 9.3¹² + 3.3¹² − 1.3¹²

= (9+3−1).3¹² = 11.3¹² olarak sonucu buluruz.

BİLİMSEL GÖSTERİM

10'UN KUVVETLERİ

a bir tam sayı olmak üzere a . 10ⁿ sayısında; n pozitif tam sayı ise a’nın sağına n tane sıfır koyulur.

ÖRNEK : 15 . 10⁴ = 150000 (15’in yanına 4 tane sıfır yazdık)

Bu işlemin sonucu 6 basamaklıdır.

n negatif tam sayı ise virgülden sonra n tane basamak olur ve a sayısı sağa yaslı olarak yazılır. Boş kalan basamaklara koyulur.

ÖRNEK : 5 . 10⁻⁴ = 0,0005 (Virgülden sonra 4 basamak yazdık)

ÖRNEK : 5¹⁴ . 2¹⁴ işleminin sonunda kaç tane 0 vardır ve işlemin sonucu kaç basamaklıdır?

Üsler aynı olduğu için tabanlar çarpılır.

5¹⁴ . 2¹⁴ = 10¹⁴

Sonuç olarak bu işlemin sonucunda 1’in yanında 14 tane sıfır vardır ve sonuç 15 basamaklıdır.

ÖRNEK : 5²⁶ . 4¹² işleminin sonunda kaç tane 0 vardır bulalım.

Amacımız tabanı 10 yapmak. Bunun için 5 ve 2’ye ihtiyacımız var. O yüzden 4’ü 2’nin karesi olarak yazar sonra üsleri eşitleriz.

5²⁶ . 4¹² = 5²⁶ . 2²⁴ = 5² . 5²⁴ . 2²⁴ = 25 . 10²⁴

İşlemin sonucunda 25’in yanında 24 tane 0 vardır ve sonuç 26 basamaklı bir sayıdır.

BİLİMSEL GÖSTERİM NEDİR?

Bilimsel gösterim, çok büyük ve çok küçük sayıları göstermek için kullanılan bir standarttır. Bilim adamlarının ilgilendikleri pek çok nicelik ya çok büyük ya da çok küçük değerlerdir. Böyle sayıları okumak, onlarla işlem yapmak çok zordur. Bilimsel gösterim sayesinde 10 sayısının kuvvetlerini kullanarak böyle zorluklardan kurtuluruz. Bilimsel gösterim, hayatımızdaki çok büyük ve çok küçük sayılarla işlem yapmamızı kolaylaştırır.

ÇOK BÜYÜK SAYILARIN BİLİMSEL GÖSTERİMİ

# Çok büyük sayılarda 10’un kuvveti pozitif bir tam sayıdır. Çok büyük sayıların bilimsel gösterimini örneklerle açıklayalım.

# Bir sayıyı bilimsel gösterimle göstermek için virgül sola kaydırılırsa 10’un üzeri arttırılır, sağa kaydırılırsa 10’un üzeri azaltılır.

ÖRNEK: 21 000 000 000 sayısını bilimsel gösterimle gösterelim.

Tam sayıların virgülü en sondadır. Bilimsel gösterim olabilmesi için virgül 2’nin sağına gelmelidir.

ÖRNEK: 314 000 000 000 000 sayısını bilimsel gösterimle gösterelim.

Tam sayıların virgülü en sondadır. Bilimsel gösterim olabilmesi için virgül 3’ün sağına gelmelidir.

ÇOK KÜÇÜK SAYILARIN BİLİMSEL GÖSTERİMİ

# Çok küçük sayılarda 10’un kuvveti negatif bir tam sayıdır. Çok küçük sayıların bilimsel gösterimini örneklerle açıklayalım.

# Bir sayıyı bilimsel gösterimle göstermek için virgül sola kaydırılırsa 10’un üzeri arttırılır, sağa kaydırılırsa 10’un üzeri azaltılır.

ÖRNEK: 0,0000000007 sayısını bilimsel gösterimle gösterelim.

Bilimsel gösterim olabilmesi için virgül 7’nin sağına gelmelidir.

ÖRNEK: 0,0000000000001234 sayısını bilimsel gösterimle gösterelim.

Bilimsel gösterim olabilmesi için virgül 1’nin sağına gelmelidir.

ÖRNEK: ( 2,3 . 10⁷ ).( 5 . 10^─3 ) işleminin sonucunu bilimsel gösterimle gösterelim.

NEGATİF SAYILARIN BİLİMSEL GÖSTERİMİ

# Bilimsel gösterim negatif olur mu? Negatif sayıları da bilimsel gösterimle gösterebiliriz.

ÖRNEK: −53000 sayısını bilimsel gösterimle gösterelim.

Pozitif örneklerde olduğu gibi negatif sayılarda da virgülü uygun yere kaydırarak sayıyı bilimsel gösterimle gösterebiliriz.

Bilimsel gösterim olabilmesi için virgül 5 ile 3’ün arasına gelmelidir. Böylelikle sayımız −5,3 . 10⁴ olur. Burada −5,3 sayısının mutlak değeri 1 ile 10 arasında olduğu için bilimsel gösterime uygundur.

−53000 sayısının bilimsel gösterimi: −5,3 . 10⁴