EŞİTSİZLİKLER

 Hayatımızda eşitlikler kadar eşitsizlikler de vardır. Hatta eşitsizlik eşitlikten daha fazla karşımıza çıkar diyebiliriz. Peki matematikte nasıl tanımlıyoruz ?

> (büyüktür), ≥ (büyüktür veya eşittir), < (küçüktür), ≤ (küçüktür veya eşittir) sembolleri ile yazılan matematiksel ifadelere eşitsizlik denir.

Eşitsizliklerde kullandığımız sembolleri tanıyalım:

  >  Büyüktür sembolü: Bu sembolün solundaki ifade sağındakinden büyüktür.

     Örnek: 5 > 3

 <  Küçüktür sembolü: Bu sembolün solundaki ifade sağındakinden küçüktür.

     Örnek: 1 < 7

  ≥  Büyüktür veya eşittir sembolü: Bu sembolün solundaki ifade sağındakinden büyük de olabilir eşit de olabilir.

     Örnek : x ≥ 3 ifadesinde x sayısı 3 de olabilir 3’ten büyük de olabilir.

≤  Küçüktür veya eşittir sembolü. Bu sembolün solundaki ifade sağındakinden küçük de olabilir eşit de olabilir. Örnek: x ≤ 12 ifadesinde x sayısı 12 de olabilir 12’ten küçük de olabilir.

[SPOT 1 ]

ÖRNEK: Aşağıdaki ifadelere uygun matematiksel ifadeleri yazalım.

2 katının 4 fazlası 10 olan sayı: 2x + 4 = 10

2 katının 4 fazlası 10’dan küçük olan gerçek sayılar: 2x + 4 < 10

2 katının 4 fazlası 10’dan büyük olan gerçek sayılar: 2x + 4 > 10

2 katının 4 fazlası 10’a eşit veya 10’dan küçük olan gerçek sayılar: 2x + 4 ≤ 10

2 katının 4 fazlası 10’a eşit veya 10’dan büyük olan gerçek sayılar: 2x + 4 ≥ 10

Yukarıdaki beş ifadeden ilki eşitliktir. Diğer dördü ise eşitsizliktir.

ÖRNEK: Aşağıdaki ifadelere uygun eşitsizlikleri yazalım.

−2 katının 5 fazlası 10’dan küçük veya 10’a eşit olan gerçek sayılar: −2.x + 5 ≤ 10

3 katının 12 eksiği, 10 katının 5 fazlasından küçük olan gerçek sayılar: 3.x − 12 < 10.x + 5

7 fazlasının 2 katı kendisinden büyük olan gerçek sayılar: 2.(x + 7) > x

Şimdi eşitsizliklerde hangi işlemleri yapabiliriz öğrenelim.

EŞİTSİZLİKLERİN ÖZELLİKLERİ

Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya her iki taraftan aynı sayı çıkarılırsa eşitsizlik bozulmaz. [SPOT 2 ]

ÖRNEK: 13 < 14 ifadesinde eşitsizliğin;

her iki tarafına 10 eklersek: 23 < 24 olur,

her iki tarafından 10 çıkartırsak: 3 < 4 olur.

Gördüğümüz gibi yaptığımız işlemler sonunda elde ettiğimiz eşitsizlik doğru bir eşitsizliktir.

Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı pozitif sayı ile çarpılır veya aynı negatif sayıya bölünürse eşitsizlik bozulmaz.

ÖRNEK: 20 > 10 ifadesinde eşitsizliğin;

her iki tarafını 10 ile çarparsak: 200 > 100 olur,

her iki tarafını 10’a bölersek: 2 > 1 olur.

Gördüğümüz gibi yaptığımız işlemler sonunda elde ettiğimiz eşitsizlik doğru bir eşitsizliktir.

Bir eşitsizliğin her iki tarafı aynı negatif sayı ile çarpılır veya aynı negatif sayıya bölünürse eşitsizlik yön değiştirir.  [SPOT 3 ]. Eşitsizliğin yön değiştirmesi demek, küçüktür (<) işaretinin büyüktür (>) olması veya büyüktür (>) işaretinin küçüktür (<) işareti olması demektir. Aynı şekilde ≤ işareti ≥ işareti olur ve ≥ işareti ≤ olur.

ÖRNEK: 16 > 12 ifadesinde eşitsizliğin;

her iki tarafını −10 ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmelidir:  −160 < −120 olur,

her iki tarafını −4’e bölersek eşitsizlik yön değiştirmelidir: −4 < −3 olur.

Gördüğümüz gibi yaptığımız işlemler sonunda elde ettiğimiz eşitsizlik doğru bir eşitsizliktir.

BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİKLER

a, b ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere,

ax + b > 0

ax + b ≥ 0

ax + b < 0

ax + b ≤ 0

biçiminde yazılabilen cebirsel ifadelere, birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.

EŞİTSİZLİKLERİN ÇÖZÜM KÜMESİNİ BULMA VE SAYI DOĞRUSUNDA GÖSTERME

Eşitsizlikleri çözerken esasında denklemleri çözer gibi çözeriz yani bilinmeyeni eşitsizliğin bir tarafında yalnız bırakırız. Bu durumu oluştururken de yukarıda öğrendiğimiz özellikleri kullanırız. Birinci derece denklemlerin çözüm kümesinde bir sayı bulunurken , birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözüm kümesi ise  bir sayı değil bir aralıktır. [SPOT 4 ]

Eşitsizliğin çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterirken “≤ veya ≥” sembollerinde başlangıç noktasının içi dolu, “< veya >” sembollerinde başlangıç noktası çözüm kümesine dahil olmadığından içi boş olur [SPOT 5 ]

ÖRNEK: Aşağıda bazı eşitsizliklerin sayı doğrusu üzerinde gösterimi verilmiştir.

ÖRNEK: 2x + 3 > 11 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım ve sayı doğrusunda gösterelim.

x’i yalnız bırakmak için önce her iki taraftan 3 çıkartılır.

2x + 3 − 3 > 11 − 3

2x > 8

her iki taraf 2’ye bölünür.

x > 4

Çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterirken sayı doğrusunda 4’ten büyük olan kısım işaretlenir. −4 sayısı çözüm kümesine dahil olmadığı için içi boş bırakılır.

ÖRNEK: 40 − x ≤ 50 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım ve sayı doğrusunda gösterelim.

40 − x − 40 ≤ 50 − 40

− x ≤ 10

eşitsizliğin her iki tarafı −1 ile çarpılır. Negatif sayı ile çarptığımız için aradaki işaretin yön değiştirdiğini unutmayalım.

− x . − 1 ≤ 10 . − 1

x ≥ −10

Çözüm kümesini sayı doğrusunda gösterirken sayı doğrusunda −10 ve −10’dan büyük olan kısım işaretlenir. −10 sayısı çözüm kümesine dahil olduğu için bu sayı da işaretlenir.